38 直角的投影

相交两直线的投影通常不能反映两直线夹角的实形，如果两直线垂直（垂直相交或垂直交叉），其中一条直线是某一投影面平行线时，两直线在该投影面上的投影为直角。这种投影特性称为直角投影定理。以两直线垂直相交，其中一直线是水平线为例，证明如下：如图4.2.5-1所示。

已知：AB⊥BC，BC∥H面。

求证：ab⊥bc。

证明：

因为BC∥H面，Bb⊥H面；

有BC⊥Bb；

已知AB⊥BC，根据BC⊥Bb，所以BC垂直于投射面ABab，得BC⊥ab；

又因为BC∥H面，得BC∥bc；

所以ab⊥cd。

直角投影定理的逆定理仍成立，如果两直线的某一投影垂直，其中有一直线是该投影面的平行线，那么空间两直线垂直。

直角投影定理可以解决特定情形下的度量问题。

【例】求图4.2.5-2中两面投影的两直线AB、CD之间的最短距离。

分析：直线AB是铅垂线，CD是一般位置直线，若求两直线之间的距离，须求出两直线的公垂线。因为与铅垂线垂直的直线是水平线，如动画4.2.5中的EF，所以根据直角投影定理，EF⊥CD，则ef⊥cd。其步骤可为：

1、在水平面H面中，从重影点a（b）向cd作垂线交于f；

2、按点的投影规律求出CD上的正面投影并求出f'；

3、过f'作e'f'//OX，e'f'和ef即为公垂线EF的两投影；

4、水平线EF的H面投影ef即为两直线之间的距离。